Home › Matematika

Contoh Soal Pembuktian Ekuivalensi Logika Matematika

"Contoh soal pembuktian ekuivalensi logika matematika, contoh ekuivalensi tautologi, kontradiksi, kontingen, dan hukum ekuivalensi..."

50 min read

Contoh Soal Pembuktian Ekuivalensi Logika Matematika - Selama ini saya mendengar kata ekuivalensi, baik itu kalimat ekuivalensi dalam bahasa Indonesia maupun dalam logika Matematika.

Ternyata setelah buka KBBI, kata ekuivalensi bisa diartikan memiliki nilai yang sama. Tapi kita tidak akan membahas bahasa Indonesia kali ini, namun kita akan membahas lebih jauh tentang contoh soal logika Matematika ekuivalensi.

Apa itu ekuivalensi?

Contoh Soal Pembuktian Ekuivalensi Logika Matematika

Dalam logika matematika, ekuivalensi adalah pernyataan-pernyataan yang bernilai sama. Pernyataan-pernyataan tersebut adalah pernyataan majemuk setara. Artinya kita dapat menguji dua atau lebih pernyataan majemuk untuk membuktikannya apakah pernyataan tersebut ekuivalen atau tidak.

Ekuivalensi dalam logika matematika disebut ekuivalen logis jika memenuhi syarat-syarat ekuivalensi logis., yaitu memiliki nilai kebenaran yang tetap meskipun dibolak-balik dari pernyataan satu dan dua (Subtitusi).

Kapan ekspresi logika disebut ekuivalen logis?

1. Jika kedua ekspresi logika adalah Tautologi (B dan B pada Tabel Kebenaran).
2. Jika kedua ekspresi logika adalah Kontradiksi (S dan S pada Tabel Kebenaran).
3. Pada Contingen, jika urutan B dan S atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama.

Contoh ekuivalensi:

A	B	A ^ B	B ^ A
B	B	B	B
B	S	S	S
S	B	S	S
S	S	S	S

1. Contoh ekuivalensi tautologi

Buktikan apakah ekspresi (p ʌ q) => q ≡ (p ʌ ~q) => p tersebut ekuivalen dan bersifat tautologi!

p	q	~q	p ʌ q	p ʌ ~q	(p ʌ q) => q	(p ʌ ~q) => p
B	B	S	B	S	B	B
B	S	B	S	B	B	B
S	B	S	S	S	B	B
S	S	B	S	S	B	B

2. Contoh ekuivalensi kontradiksi

Buktikan dengan gambar tabel kebenaran bahwa (~p ʌ q) ʌ p ≡ p ʌ (~p ʌ q) ekuivalen dan bersifat kontradiksi.

p	q	~p	(~p ʌ q)	(~p ʌ q) ʌ p	p ʌ (~p ʌ q)
B	B	S	S	S	S
B	S	S	S	S	S
S	B	B	B	S	S
S	S	B	S	S	S

3. Contoh ekuivalensi kontingen

Berikut contoh soal ekspresi ekuivalensi p => q ≡ ~p v q

p	q	~p	p=>q	~p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

Contoh Soal Pembuktian Ekuivalensi Logika Matematika

Saya pikir dua contoh berikut ini sudah dapat mewakili soal-soal ujian atau soal-soal tes seperti SNMPTN/UMPTN, Ujian Nasional, CPNS sehingga kamu dapat menjawabnya jika diperhadapkan dengan soal-soal logika matematika.

1. Buktikan apakah eskpresi di bawah ini benar-benar ekuivalen!

~(p <=>q ) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)

Jawaban:

p	q	~p	~q	p ∧ ~q	q ∧ ~p	p <=>q	~(p <=>q)	(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
B	B	S	S	S	S	B	S	S
B	S	S	B	B	S	S	B	B
S	B	B	S	S	B	S	B	B
S	S	B	B	S	S	B	S	S

Dari tabel pembuktian ekuivalensi di atas, dapat disimbulkan kalau kedua ekspresi tersebut memang ekuivalen.

2. Coba buktikan dengan gambar tabel kebenaran apakah ekspresi berikut ini ekuivalensi.

p => q ≡ ~p ∨ q

p	q	~p	p v q	~p => q
B	B	S	B	B
B	S	S	B	B
S	B	B	B	B
S	S	B	S	S

Dari tabel pembuktian ekuivalensi di atas, kita dapat melihat bahwa ekspresi tersebut ekuivalen.

Hukum Ekuivalensi Logika:

Hukum ekuivalensi digunakan untuk menyelesaikan soal-soal logika dengan jalan penurunan. Jadi, dengan adanya hukum ekuivalensi ini, kita bsia menyelesaikan soal-soal matematika logika ekuivalensi seperti tautologi, kontradiksi, dan lain-lain tanpa harus menggunakan tabel kebenaran.

Cara kerja dari hukum ekuivalensi logika adalah dengan menyederhanakan kalimat-kalimat kompleks.

Untuk lebih jelasnya kamu bisa belajar tentang ekuivalensi dari hukum logika berikut ini.

Hukum komutatif

p ∧ q ≡ q ∧ p
p ∨ q ≡ q ∨ p

Hukum asosiatif

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

Hukum distributif

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Hukum identitas

p ∧ B ≡ p
p ∨ S ≡ p

Hukum ikatan

p ∧ S ≡ S
p ∨ B ≡ B

Hukum negasi

p ∧ ~p ≡ S
p ∨ ~p ≡ B

Hukum negasi ganda

~(~p) ≡ p

Hukum idempotent

p ∧ p ≡ p
p ∨ p ≡ p

Hukum De Morgan

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

Hukum penyerapan

p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Negasi B dan S

~B ≡ S
~S ≡ B
p → q ≡ ~p ∨ q
p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

Penutup, perlu diingat bawah jika operator logika konjungsi, disjungsi, dan biimplikasi memiliki sifat-sifat ekuivalensi meskipun pernyataannya dibolak-balik, tidak demikian halnya dengan operator implikasi. Hal ini karena implikasi memiliki sifat-sifat khusus yang disebut konvers, invers, dan kontraposisi yang sering digunakan untuk penarikan kesimpulan.

Lihat juga Tabel Kebenaran Logika Matematika

Ok, sampai di sini dulu pembahasan kita tentang contoh soal pembuktian ekuivalensi logika matematika. Semoga bermafanfaat dan salam juru hitung!