Logika Matematika: Pernyataan, Tabel Kebenaran dan Operator Logika

Aps itu pernyataan dan jenis-jenis pernyataan? Berikut ini sedikit penjelasannya.

Pernyataan atau biasa disebut proposisi adalah sebuah kalimat yang hanya memiliki satu nilai kebenaran, yaitu benar atau salah.

Namun tidak semua kalimat adalah pernyataan. Misalnya kalimat pengandaian, harapan, itu semua bukan contoh pernyataan. 

Karena pernyataan harus memiliki jawaban, entah itu benar atau salah dan bukanlah sebuah pernyataan jika tidak memilki jawaban atau jawabannya relatif.

Pernyataan tertutup menggunakan kalimat tertutup yang jawabannya telah ada dan bisa bernilai salah atau benar.

Contoh pernyataan tertutup

Pernyataan terbuka adalah pernyataan yang nilai kebenarannya masih perlu dicari terlebih dahulu.

Contoh pernyataan terbuka

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang memiliki nilai kuantitas. Cara sederhana untuk membedakan pernyataan berkuantor dengan pernyataan kalimat biasa adalah umumnya ditandai dengan kata-kata yang menunjukkan kuantitas seperti semua, setiap, beberapa, sebagian dan lain-lain.

Kuantor universal atau disebut juga kuantor umum ditandai dengan kata "semua",  "setiap", dan lain-lain. Contohnya:

"Semua wanita Korea cantik"

Kuantor eksensial atau disebut juga kuantor khusus ditandai dengan kata "beberapa", "terdapat", "ada", dan sebagainya. Contohnya:

"Beberapa wanita Korea tidak cantik"

Operator logika digunakan dalam memproses beberapa pernyataan. Ada beberapa operator logika yang memiliki tabel kebenarannya masing-masing. Sedikit informasi saja, tabel kebenaran dari operator logika berfungsi untuk mempermudah kita dalam melakukan penarikan kesimpulan dari pernyataan yang ada.

Langsung saja, berikut operator logika lengkap dengan tabel kebenarannya dan contoh soal dari kalimat pernyataannya.

Negasi atau biasa disebut ingkaran adalah operator logika yang digunakan untuk menyanggah (not) sebuah pernyataan. Kesimpulannya selalu berbanding terbalik dari pernyataan.

Contoh negasi:

• p: Semua orang Indonesia makmur
• ~p: Tidak semua orang Indonesia makmur

2. Konjungsi (And/dan)

Konjungsi adalah operator logika yang menghubungkan pernyataan dengan kata Dan (And).

Berdasarkan tabel di atas:

• Jika p dan q semuanya bernilai benar maka benar.
• Jika salah satu pernyataan salah maka salah.

Contoh konjungsi:

p: Kemarin saya tidak belajar
~p: Saya tidak lulus sekolah
p ∧ q: Kemarin saya berhenti belajar dan saya tidak lulus sekolah

3. Disjungsi (Or/atau)

Disjungsi adalah operator logika yang memproses pernyataan-pernyataan dengan kata atau.


Berdasarkan tabel disjungsi di atas:

• Jika p dan q salah satunya benar maka benar
• Jika semua pernyataan salah maka salah

Contoh disjungsi:

p: Guru garang
q: Murid nakal
p v q: Guru garang atau murid nakal

4. Implikasi (If ... Then .../ Jika ... Maka ... )

Logika matematika implikasi menggunakan kata hubung jika ... maka ..... Pernyataan pertama disebut atesenden (sebab) dan pernyataan kedua disebut konsekuen (akibat).


Berdasarkan tabel implikasi di atas, maka:

• Jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah, maka salah.
• Selain itu, implikasi akan bernilai benar.

Contoh implikasi:

p: Saya libur semester
q: Saya pergi liburan ke Sulawesi Tengah
p⇒q: Jika saya libur semester maka saya pergi liburan ke Sulawesi Tengah.

5. Biimplikasi ( ... if and only if ... / ... jika dan hanya jika ... )

Biimplikasi adalah operator logika yang menggunakan kata hubung ... jika dan hanya jika ...


Dari tabel kebenaran biimplikasi di atas, kita dapat menarik kesimpulan:

• Jika pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah maka salah.
• Selain itu, ketentuan biimplikasi akan selalu benar.

Contoh biimplikasi:

p: Saya menjadi pribadi yang kuat
q: Saya sering menghadapi badai hidup
p⇔q: Saya menjadi pribadi yang kuat jika dan hanya jika saya sering menghadapi badai hidup.

C. Ekuivalensi (≡)

Ekuivalensi adalah suatu sifat dari dua atau lebih pernyataan yang memiliki nilai yang sama atau disebut sepadan. Meskipun dibolak-balik, inti dari pernyataan tersebut tetap sama dan memiliki arti yang sama.

Contoh ekuivalensi:

P/\Q≡Q/\P
~(P/\Q)≡ ~P\/~Q
~(P\/Q)≡ ~P/\~Q

Hukum Logika:

Untuk lebih jelasnya kamu bisa belajar tentang ekuivalensi dari hukum logika berikut ini.

1. Hukum komutatif
• p ∧ q ≡ q ∧ p
• p ∨ q ≡ q ∨ p
2. Hukum asosiatif
• (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
• (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
3. Hukum distributif
• p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
• p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4. Hukum identitas
• p ∧ B ≡ p
• p ∨ S ≡ p
5. Hukum ikatan
• p ∧ S ≡ S
• p ∨ B ≡ B
6. Hukum negasi
• p ∧ ~p ≡ S
• p ∨ ~p ≡ B
7. Hukum negasi ganda
• ~(~p) ≡ p
8. Hukum idempotent
• p ∧ p ≡ p
• p ∨ p ≡ p
9. Hukum De Morgan
• ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
• ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10. Hukum penyerapan
• p ∧ (p ∨ q) ≡ p
• p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11. Negasi B dan S
• ~B ≡ S
• ~S ≡ B
• p → q ≡ ~p ∨ q
• p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

Jika operator logika konjungsi, disjungsi, dan biimplikasi memiliki sifat-sifat ekuivalensi meskipun pernyataannya dibolak-balik, tidak demikian halnya dengan operator implikasi. Hal ini karena implikasi memiliki sifat-sifat khusus yang disebut konvers, invers, dan kontraposisi.

D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Konvers, invers dan kontraposisi merupakan sifat-sifat dari operator logika implikasi yang ketika pernyataan pertama ditukar dengan pernyataan kedua tidak ekuivalensi.

• p ⇒ q adalah Implikasi
• ∼p ⇒ ∼q  disebut Invers 
• q ⇒ p disebut Konvers 
• ∼q ⇒ ∼p disebut Kontraposisi

E. Penarikan Kesimpulan

Materi terakhir dalam logika matematik adalah metode penarikan kesimpulan. Berdasarkan operator logika implikasi dan bentuk pernyataannya, kita memiliki 3 jenis cara pengambilan keputusan.

1. Modus ponens 

Cara menarik kesimpulan dengan metode modus ponens adalah dengan mencoret premis yang sama. Trik ini saya dapatkan ketika membaca-baca jurnal salah satu website yang banyak memberikan pelajaran SBMPTN.

• Premis 1: p → q 
• Premis 2: p 
• Kesimpulan: q 

Kita coret p yang adalah pernyataan yang sama untuk menghasilkan q.

Contoh modus ponens:

p1: Jika saya terlambat maka saya dihukum
p2: Saya terlambat
Kesimpulan: Saya dihukum

2. Modus tollens 

Trik penarikan kesimpulan pada pernyataan implikasi dengan metode modus tollens adalah tidak ada pernyataan yang sama artinya.

• Premis 1: p → q 
• Premis 2: ~q 
• Kesimpulan: ~p 

Contoh modus tollens:

p1: Jika hari ini hujan maka saya tinggal di rumah
p2: Saya tidak tinggal di rumah
Kesimpulan: Hari ini tidak hujan.

3. Silogisme 

Silogisme memiliki 3 jenis pernyataan. Untuk menemukan kesimpulan, kita dapat membuang pernyataan yang sama.

• Premis 1: p → q 
• Premis 2: q → r 
• Kesimpulan: p → r

Pernyataan yang sama q sehingga kesimpulannya adalah p implikasi r.

Contoh silogisme:

p1: Jika saya tidak kuliah maka saya menjadi pengusaha
p2: Jika saya menjadi pengusaha maka saya akan menjalankan bisnis online
Kesimpulan: Jika saya tidak kuliah maka saya akan menjalankan bisnis online

Istilah dalam Logika Informatika Penarikan Kesimpulan:

• Premis: pernyataan
• Konklusi: kesimpulan
• Tautologi: jika pernyataan majemuk yang disandingkan selalu bernilai benar.
• Kontrakdiksi: jika pernyataan mejemuk yang disandingkan selalu bernilai salah.

Itulah materi lengkap logika informatika dan operator logika lengkap dengan contoh soal logika matematika. Intinya, rumus logika matematika adalah logika itu sendiri. Kamu hanya perlu mengasah kemampuan logika kamu dan menggunakan tabel kebenaran sebagai pembantu.

Pada materi berikutnya, kita masih akan tetap pada logika matematika, yaitu tabel kebenaran. Di sana kita masih akan menggunakan tabel kebenaran di atas namun yang lebih lengkap lagi.

Selain konjungsi, disjungsi, negasi, implikasi dan implikasi, pada pertemuan berikutnya kita juga akan mengenal tabel kebenaran X-OR, N-OR, dan NAND.

Lihat juga Tabel Kebenaran Lengkap

Semoga kamu mengerti tentang logika matematika ini tentang pernyataan, tabel kebenaran operator logika, ekuivalensi, dan penarikan kesimpulan.

Referensi https://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika